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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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7. Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
q) $f(x)=\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}$

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones. 1) Identificamos el dominio de $f(x)$ El dominio de $f$ es $\mathbb{R} - \{1\}$ 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Estudiamos el comportamiento de $f$ cuando $x$ tiende a $1$:

$ \lim_{x \to 1^-} \frac{x^3}{(x-1)^2} = +\infty $ $ \lim_{x \to 1^+} \frac{x^3}{(x-1)^2} = +\infty $
Por lo tanto, $x = 1$ es asíntota vertical de $f$
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{(x-1)^2} = +\infty $ $ \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3}{(x-1)^2} = -\infty $ 

Aclaración: Yo acá no escribí unos pasos intermedios, te das cuenta cómo justificar en el parcial esos límites? Pista, desarrollá ese cuadrado del denominador con la fórmula del cuadrado del binomio y tenés un cociente de polinomios, ¿qué podemos hacer ahí?
3) Calculamos $f'(x)$:
$ f'(x) = \frac{(3x^2)(x-1)^2 - x^3(2)(x-1)}{(x-1)^4} $

Reacomodamos un poco, fijate que podemos sacar factor común $x-1$ en el numerador y se nos simplifica con uno del denominador. Nos queda:

$ f'(x) = \frac{(3x^2)(x-1) - 2x^3}{(x-1)^3} $

$ f'(x) = \frac{3x^3 - 3x^2 - 2x^3}{(x-1)^3} $

$ f'(x) = \frac{x^3 - 3x^2}{(x-1)^3} $

$ f'(x) = \frac{x^2(x - 3)}{(x-1)^3} $
  4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
$\frac{x^2(x - 3)}{(x-1)^3}  = 0$

$ x^2(x - 3) = 0 $ Tenemos dos soluciones para esta ecuación: $x = 0$ y $x = 3$.  
Por lo tanto, los puntos críticos son $x = 0$ y $x = 3$. 
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:

a) $x < 0$ b) $0 < x < 1$ c) $1 < x < 3$ d) $x > 3$  6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos: a) Para $x < 0$ $f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente. b) Para $0 < x < 1$ 
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente. c) Para $1 < x < 3$ $f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.

d) Para $x > 3$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
Aclaración: $x=0$ era un punto crítico, un "candidato" a máximo o mínimo. Pero fijate que en este caso como la función crece hasta el cero y después sigue creciendo, al final no resultó ser nada, no es máximo ni mínimo.
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:

2024-04-19%2020:30:34_4223660.png
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Avatar Sofia 26 de mayo 20:54
Hola! Consulta, puede ser que esta funcion tenga asintota oblicua?
Avatar Flor Profesor 26 de mayo 22:30
@Sofia Hola Sofi! Siiii, vas a ver que varias de estas funciones tienen asíntotas oblicuas, pero tip clave para el parcial: Por lo general, en el típico ejercicio de estudio de funciones del parcial (el punto 3), para responder a la pregunta que te hace no necesitas saber si $f$ se está yendo a infinito pegándose a una asíntota oblicua o no... Podés buscarla si venis muy bien de tiempo en el parcial y muy segura, pero no es necesario (a menos que te lo pida explícitamente, obvio, pero nunca vi que pasara jaja en los finales si en cambio suelen aparecer ejercicios donde te preguntan específicamente por asíntotas oblicuas de una función)
Avatar Sofia 27 de mayo 14:29
Hola! Genial, mil graciass!
Avatar Benjamin 21 de mayo 17:00
cuando saco factor comun del x-1 me quedaria asi?:

(x-1) * ( (3x^2)(x-1) - ( (2x^3) (1) ) ?? O como seria ajaj, eso en el numerador nomas q es mi duda, pero como todo esta entre tantos parentesis medio que confunde 
Avatar Flor Profesor 21 de mayo 20:07
@Benjamin Claro, exacto! Ahí podés simplificar ese $(x-1)$ con uno de los del denominador ;) 
Avatar Benjamin 21 de mayo 16:47
como despejo el (x-1)^2?
Avatar Flor Profesor 21 de mayo 20:08
@Benjamin Acá si no entiendo a qué parte del ejercicio te referis 🧐
Avatar Benjamin 22 de mayo 08:19
me confundi yo creo, es la misma duda que en el otro comentario jaja
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